以知平行四边形ABCD中,AB=2AD,延长AD到F使DF=AD,延长DA到E,使AE=AD这时BF与CE存在什么关系?请证明你的猜想.

Question

以知平行四边形ABCD中,AB=2AD,延长AD到F使DF=AD,延长DA到E,使AE=AD这时BF与CE存在什么关系?请证明你的猜想.

Answer 1

BF⊥CE
证明如下：
由余弦定理,得
BF²
=AF²+AB²-2AB*AF*cos∠BAF
=4AD²+AB²-4AB*AD*cos∠BAF
=8AD²(1-cos∠BAF)
CE²
=DC²+DE²-2DC*DE*cos∠CDE
=AB²+4AD²+4AB*AD*cos∠BAF
=8AD²(1+cos∠BAF)
∴[BF²/(8AD²)]+[CE²/(8AD²]=2
∴BF²+CE²=16AD²=4AB²
向右平移CE使C到D,E到G,GF=2AB
则BF²+CE²=FG²
∴BF⊥CE
得证!