已知正实数a,b满足4/a+1/b=1,则使a+b>m恒成立的实数m取值范围是?求详细过程啊,感谢

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已知正实数a,b满足4/a+1/b=1,则使a+b>m恒成立的实数m取值范围是?
求详细过程啊,感谢

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答案和解析

因为 a+b>m 恒成立,所以m的取值上限就是a+b的最小值,即若 a+b 的最小值是T,则m的取值范围是m属于 (0,T].现在来求T.
由 4/a+1/b=1,所以
a+b
=(a+b)(4/a+1/b) (展开)
=5 + a/b + 4b/a (对后两项用均值不等式)
>=5+ 2根号[(a/b)*(4b/a)]
=5+4
=9
即 a+b=9,T=9.因此m的取值范围是 (0,9].

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