若关于X的方程SIN2X-2根号3(COSX)^2+M+根号3-1=0在区间0到派/2上有两个不同解,则实数M的范围?因为x∈[0,π/2],即2x∈[0,π],所以2x-π/3∈[-π/3,2π/3]由于原方程在区间[0,π/2]上有两个不同解,故可根据正弦

Question

若关于X的方程SIN2X-2根号3(COSX)^2+M+根号3-1=0在区间0到派/2上有两个不同解,则实数M的范围?
因为x∈[0,π/2],即2x∈[0,π],所以2x-π/3∈[-π/3,2π/3]
由于原方程在区间[0,π/2]上有两个不同解,
故可根据正弦函数y=sinx的图像和性质可知
2x-π/3∈[π/3,2π/3]
为什么?

Answer 1

若关于x的方程sin2x-2(√3)cos²x+M+√3-1=0在区间[0,π/2]上有两个不同解,则实数M的范围?


sin2x-2(√3)cos²x+M+√3-1=sin2x-(√3)(1+cos2x)+M+√3-1=sin2x-(√3)cos2x+M-1
=2[(1/2)sin2x-(√3/2)cos2x]+M-1=2[sin2xcos(π/3)-cos2xsin(π/3)]+M-1=2sin(2x-π/3)+M-1=0
由于0≦x≦π/2,故0≦2x≦π；-π/3≦2x-π/3≦2π/3；
由于2sin(-π/3)=-2sin(π/3)=-√3；2sin(2π/3)=2sin(π-π/3)=2sin(π/3)=√3；2sin(π/2)=2；
故当0≦x≦π/2时-√3≦2sin(2x-π/3)≦2；由于2sin(2x-π/3)＋M-1=2sin(2x-π/3)-(1-M)=0有两个
不同的解,即函数y=2sin(2x-π/3)的图像与直线y=1-M有两个不同的交点,因此π/3<2x-π/3<2π/3,
只有在此范围内直线y=1-M与y=2sin(2x-π/3)的图像才可能有两个不同的交点,故√3≦1-M<2
即√3-1≦-M<1；于是得 -1【你自己动手画个y=2sinu,(u=2x-π/3)的图像,就一目了然啦!】