若当1≤x≤3时,x²+2ax-1≤0恒成立求a的取值范围.最好分别用代数法和图像法来求出答案,

Question

若当1≤x≤3时,x²+2ax-1≤0恒成立
求a的取值范围.
最好分别用代数法和图像法来求出答案,

Answer 1

代数法
x²+2ax-1≤0
2ax≤1-x²
因为1≤x≤3,所以a≤(1-x²)/2x 恒成立
令y=(1-x²)/2x,y'=[(-2x*2x)-(1-x²)*2]/4x²=-(x²+1)/2x²
当1≤x≤3时,y'=-1时,y单调递增,当x=3时,y最大值9+6a-1=6a+8≤0,a≤-4/3不满足,舍去
当3≤-a,a≤-3时,y单调递减,当x=1时,y最大值1+2a-1=2a≤0,a≤0满足
当1≤-a≤3,-3≤a≤-1时,y先递减再递增,当x=1时,1+2a-1=2a≤0,a≤0满足
当x=3时,9+6a-1=6a+8≤0,a≤-4/3
所以-3≤a≤-4/3
综上a≤-4/3