一道数学概率题,求解.连续做某种实验,结果或成功或失败,已知当第K次成功,则第K+1次也成功的概率为1/2;当第K次失败,则第K+1次成功的概率是3/4.若首次实验成功和失败的概率都是1/2,求第N次实

Question

一道数学概率题,求解.
连续做某种实验,结果或成功或失败,已知当第K次成功,则第K+1次也成功的概率为1/2;当第K次失败,则第K+1次成功的概率是3/4.若首次实验成功和失败的概率都是1/2,求第N次实验成功的概率.

Answer 1

第一次成功的概率为1/2,第二次成功的概率为 1/2*1/2+3/4*1/2=5/8
设第N次成功的概率是p(n),则
p(n)=1/2*p（n-1）+3/4*[1-p(n-1)]
=[3-p(n-1)]/4
4*p(n)+p(n-1)-3=0
要想继续解题需要用到一个定理：
定理：若数列p(n)满足 a*p(n)+b*p(n-1)+c=0 (a,b,c为常数）
则该数列的通项公式为：
p(n)=A*(x1)^n+B*(x2)^n
其中 x1,x2是方程 ax²+bx+c=0 的两个根,A、B是常数,
需要根据p(1)和p(2)的值来确定
这个定理是数学奥赛要讲的内容,教材里没有
根据该定理,方程 4x²+x-3=0 的两个根为 x1=-1 和 x2=3/4
所以数列p(n)的通项公式为：
p(n)=A*(-1)^n+B*(3/4)^n
p(1)=1/2,p(2)=5/8,分别代入得方程组：
-A+3/4*B=1/2
A+9/16*B=5/8
解得：A=1/7,B=6/7
所以第N次实验成功的概率 p(n)=[(-1)^n+6*(3/4)^n]/7