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三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,如果a的平方=b（b+c）,求证：A=2B
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三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,如果a的平方=b（b+c）,求证：A=2B
▼优质解答
答案和解析
由正弦定理可知,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a²=b（b+c）中,
得sin²A=sinB（sinB+sinC）
∴sin²A-sin²B=sinBsinC
∴ （1-cos2A）/2- （1-cos2B）/2=sinBsin（A+B）
∴ 1/2（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B）,
因为A、B、C为三角形的三内角,
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B,即A=2B．
得sin²A=sinB（sinB+sinC）
∴sin²A-sin²B=sinBsinC
∴ （1-cos2A）/2- （1-cos2B）/2=sinBsin（A+B）
∴ 1/2（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B）,
因为A、B、C为三角形的三内角,
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B,即A=2B．
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