复数Lnz,argz由于argz在原点与负实轴不解析,Lnz里面含有argz,所以在原点与负实轴不解析,那么由于z=r(cosargz+isinargz),所有复函数都可看作argz的复合函数呀,为什么单单分析Lnz时要考虑argz,还有在分

Question

复数Lnz,argz
由于argz在原点与负实轴不解析,Lnz里面含有argz,所以在原点与负实轴不解析,那么由于z=r(cosargz+isinargz),所有复函数都可看作argz的复合函数呀,为什么单单分析Lnz时要考虑argz,还有在分析z∧α时说当为既约分数无理数复数时,作为指数与对数的复合函数,受Lnz的影响,当α为正整数时在整个复平面解析,这时候不还是指数与Lnz的复合函数吗?究竟什么时候才算含有Lnz,argz等?

Answer 1

所谓的不解析是由于argz在的不连续性造成的,你做z=r(cosargz+isinargz)的换元 对函数本身是不造成影响的,因为这仍然是连续的（只要z-z0充分小,r(cosargz+isinargz)-r0(cosargz0+isinargz0)的模也可以足够小）.
当α非整数时 要考虑Lnz.原因是f=z^α=e^(αLnz)=e^α(ln|z|+iargz+i2kπ)
当α为整数时,e^α(ln|z|+iargz+i2kπ)=e^α(ln|z|+iargz)
取定-π