原题“设abc为不相等的实数,证明ax^2+2bx+c=0.bx^2+2cx+a=0,cx^2+2a+b=0,这三个方程不可能有等根.”如何证明a+b+c不等于零不是各自有相等的根他们共同有一个根

Question

原题“设abc为不相等的实数,证明ax^2+2bx+c=0.bx^2+2cx+a=0,cx^2+2a+b=0,这三个方程不可能有等根.”
如何证明a+b+c不等于零
不是各自有相等的根
他们共同有一个根

Answer 1

证明:
(为什么一定要从正面做呢?考虑下用反面来做,导出矛盾,结论正确)
反证法
假设三个方程都有相等的实数根,
则有判别式:
4b^2-4ac=0,
4c^2-4ab=0,
4a^2-4bc=0
即
b^2=ca,
c^2=ab,
a^2=bc
所以
(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=0
当且仅当a=b=c时成立
这与a,b,c 互不相等矛盾
所以假设不成立,
原命题成立