【概率】怎样证明独立/互斥事件比如抽球 红26 蓝26 在不放回的情况下 第一次抽到红球的概率为A 第二次抽到红球的概率为B A和B是互斥事件 怎样证明?究竟是P(A∩B)=P(A)P(B)可证独立 还是 独立

Question

【概率】怎样证明独立/互斥事件
比如抽球 红26 蓝26 在不放回的情况下 第一次抽到红球的概率为A 第二次抽到红球的概率为B A和B是互斥事件 怎样证明?
究竟是P(A∩B)=P(A)P(B)可证独立 还是 独立可证P(A∩B)=P(A)P(B)?
具体证法呢？
还有一个问题 如果是通过P(B|A)=P(B)来证明独立，那么P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，在不知道A、B是不是独立事件的情况下 不能用P(A∩B)=P(A)P(B) 那不是进入了一个无限循环的证明之中了么！T T

Answer 1

你给出的抽球的例子不太合适,A,B都代表的是概率,而不是事件,所以谈不上互斥或者独立.
独立事件是指若A1,A2,A3,……An这些事件相互独立,则其中任何一个发生与否,都与其它事件的发生与否没有任何关系,互不影响.
互斥事件是指若A1,A2,A3,……An这些事件互斥,则其中任何一个发生了,其它的事件都不会发生.
证明独立性,就是用你说的P(A∩B)=P(A)P(B)式子来证,即如果P(A∩B)=P(A)P(B)成立,那么A与B相互独立；如果P(A∩B)=P(A)P(B)不成立,则A与B不相互独立.反过来,如果A与B相互独立,则P(A∩B)=P(A)P(B)成立,反之亦然.所以式子P(A∩B)=P(A)P(B)的成立是A与B相互独立充要条件.具体证法就是分别算出
P(A∩B)和P(A)P(B),看他们是否相等.
对于你补充的那个无限循环的证明是不会发生的,因为P(B|A)=P(B)与P(A∩B)=P(A)P(B)是等价的,而P(B|A)=P(A∩B)/P(A)与他们不同,所以在不知道A、B是不是独立事件的情况下,只能用P(B|A)=P(A∩B)/P(A),另外的两个都不能用.如果知道了A、B互为独立事件,则三个都能用.
如果是通过P(B|A)=P(B)来证明独立,那么与通过P(A∩B)=P(A)P(B)来证明是一样的,就看题中给什么样的条件了,在选择用哪一个比较方便.