07．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC是以AC为斜边的Rt△时,求点P的坐标；

Question

07．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线
的解析式和对称轴；
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC是以AC为斜边的Rt△时,求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由；
(4)设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N,当△ACN的面积为 时,求直线AN的解析式.

Answer 1

(1)
过A,B,抛物线可表达为 y = a(x + 1)(x - 3)
过C:3 = -3a,a = -1
y = -(x + 1)(x - 3) = -x² + 2x + 3
对称轴:x = (-1 + 3)/2 = 1
(2)
P(1,p)
AC² = PC² + AP²
1 +9 = 1 + (p - 3)² + 4 + p²
p² - 3p + 2 = 0
p = 1,P(1,1)
或
p = 2,P(1,2)
(3)
AC的中垂线与l的交点即是（可能还有其他解)
AC的中点D(-1/2,3/2),斜率3
中垂线斜率 -1/3,解析式:y - 3/2 = (-1/3)(x + 1/2)
取x = 1,y = 1
M(1,1)
(4)
缺数据
可假设AN斜率k,解析式 y = k(x + 1)
与抛物线联立可得N的坐标
然后求AN的长及C与AN的距离
也可以用:
△OAC的面积 + 梯形OCNQ的面积 - △OCQ的面积 (Q为N向的垂线的垂足)