如图,抛物线y=ax^+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,对称轴与抛物线相交于点P ,与直线BC相交于点M,连接PB.（1）抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求点Q的坐标；

Question

如图,抛物线y=ax^+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,对称轴与抛物线相交于点P ,与直线BC相交于点M,连接PB.
（1）抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求点Q的坐标；若不存在,说明理由；
（2）在X轴上方,抛物线上是否存在一点R,使△RPM于△RMB的面积相等?若存在,请求出点R的坐标；若不存在,说明理由.

Answer 1

抛物线过C(0,3)点,则c=3,过A(-1,0),则0=a-b+3,过B(3,0),则0=9a+3b+3,解得a=-1,b=2
即抛物线方程为y=-x²+2x+3
1)点P(1,4),直线BC方程为：y=-x+3    一般式为x+y-3=0
  则点P到直线BC的距离d=|1+4-3|/√(1²+1²)=√2
  设与直线BC平行且距离为√2的直线方程为x+y+m=0,即有：|m+3|/√2=√2
  得m=-1或m=-5
 联立y=-x²+2x+3与x+y-1=0得交点Q坐标为±((3+√17)/2,(-1-√17)/2)
 联立y=-x²+2x+3与x+y-5=0得交点Q3坐标为(1,3),其中另一个交点就是P(1,4)
因为此时S△QMB与△PMB是共底边MB,又P及Q点到底边距离都为√2,故有这两个三角形面积相等.
2)△RPM与△RMB有公共边RM,则若P和B到直线RM的距离相等,则两三角形以RM为底边的高相等,则面积相等.
设PB中点为N,则坐标N(2,2), M(1,2),此时由于必有P和B到直线MN的距离相等
故MN直线方程为：y=2
  y=2与y=-x²+2x+3的解x=1±√2  ,即R(1±√2,2)都在x轴上方,满足条件.