一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的内角和为多少?能过用两种正多边形组合铺满地面的是（）A正方形和正五边形b正三角形和正七边形C正方形和正三角形D正五边形和正七边形一

Question

一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的内角和为多少?
能过用两种正多边形组合铺满地面的是（）
A正方形和正五边形
b正三角形和正七边形
C正方形和正三角形
D正五边形和正七边形
一个五边形的五个外角的度数之比为1：2：3：4：5,求这个五边形的五个内角的度数.
小红家购买了一套新房,准备用一种地板砖镶嵌新居地面,要求地板砖都是正多边形,且每块地板砖的各边长都相等,各个角也都相等.某家装饰材料市场有五种型号的地板砖,他们每个角的度数分别为60度,90度,108度,120度,135度,你认为这些地板砖哪些适用?请说明你的理由.

Answer 1

1.
n边形的内角和等于n·180度-2×180度=（n-2）×180度
多边形的外角与相邻的内角互补,不难知道,多边形的外角和等于n×180度-（n-2）×180度=360度
所以：
n=360/30=12
内角和=(12-2)×180度 =1800度
2.
这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题.
这样的组合有：
（1）一个正三角形和两个正十二边形；
（2）两个正三角形和两个正六边形；
（3）三个正三角形和两个正方形；
（4）四个正三角形和一个正六边形；
（5）一个正方形和两个正八边形.
说明：
只要一个顶点处拼的各内角的和为360°即可.上述这些组合都能满足要求.
所以答案应该为：c
3.
设最小的外角角度为a,则a+2a+3a+4a+5a=360 得出：a=24度
根据角度互补原理得出这五个内角的度数分别为：
180-24=156度
180-24*2=132度
180-24*3=108度
180-24*4=84度
180-24*5=60度
4.
对于给定的某种正多边形,它能否拼成一个平面图形,而不留一点空隙?显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时,就铺成一个平面图形.
事实上,正n边形的每一个内角为,要求k个正n边形各有一个内角拼于一点,恰好覆盖地面,这样360°=,由此导出,而k是正整数,所以n只可能为3,4,6.因此,用相同的正多边形地板砖铺地面,只有正三角形（内角60度）,正四边形（内角90度）,正六边形（内角120度）的地砖可以用.
所以答案为：60度,90度,120度