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如图1和图2,在△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个三角形与△A′B′C′所分割成的两个三角形
题目详情
如图1和图2,在△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个三角形与△A′B′C′所分割成的两个三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能,请说明理由.
问题解决
小华通过分割∠C和∠C′,解决了问题,示意图3和图4如下(图中∠DCB=∠B′;∠D′C′B′=∠B:)
小阳说:不分割∠C和∠C′,也能解决问题.请你尝试根据小阳的解决思路解决问题.(在所给图形(图5和图6)上画出分割线,并注明相等的角即可)
结论推广
小冯发现:对于有一个角相等的两个不相似的三角形,一定可以把每一个三角形分割成两个小三角形,使分割的两个小三角形分别对应相似.请对他的发现作出解释.
深入研究
小鹏还发现:对于三角都不相等的两个三角形,不可以把每一个三角形分割成两个小三角形,使分割出的小三角形分别对应相似.
请你继续探索,对于三角都不相等的两个三角形,可以把三角形分割成三个小三角形,使分割出的小三角形分别对应相似吗?如果可以,请设计出分割方案(画出示意图或说明操作步骤);如果不可以,请说明理由.
问题解决
小华通过分割∠C和∠C′,解决了问题,示意图3和图4如下(图中∠DCB=∠B′;∠D′C′B′=∠B:)
小阳说:不分割∠C和∠C′,也能解决问题.请你尝试根据小阳的解决思路解决问题.(在所给图形(图5和图6)上画出分割线,并注明相等的角即可)
结论推广
小冯发现:对于有一个角相等的两个不相似的三角形,一定可以把每一个三角形分割成两个小三角形,使分割的两个小三角形分别对应相似.请对他的发现作出解释.
深入研究
小鹏还发现:对于三角都不相等的两个三角形,不可以把每一个三角形分割成两个小三角形,使分割出的小三角形分别对应相似.
请你继续探索,对于三角都不相等的两个三角形,可以把三角形分割成三个小三角形,使分割出的小三角形分别对应相似吗?如果可以,请设计出分割方案(画出示意图或说明操作步骤);如果不可以,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
问题解决
如图a,∠C=∠C′=90°,不妨设∠CAB>∠A′,∠C′B′A′>∠B.
作∠DAB=∠A′(即∠1=∠A′),作∠D′B′A′=∠B(即∠2=∠B),
则有△ADB∽△A′D′B′.
∵∠ADC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠B′D′C′,∠C=∠C′,
∴△ACD∽△B′C′D′;
结论推广
如图b,∠C=∠C′≠90°,不妨设∠CAB>∠A′,∠C′B′A′>∠B.
作∠DAB=∠A′(即∠1=∠A′),作∠D′B′A′=∠B(即∠2=∠B),
即可得到△ADB∽△A′D′B′.
∵∠ADC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠B′D′C′,∠C=∠C′,
∴△ACD∽△B′C′D′;
深入研究
如图c,不妨设∠CAB>∠A′,∠C′B′A′>∠B.
作∠DAB=∠A′(即∠1=∠A′),作∠D′B′A′=∠B(即∠2=∠B),
即可得到△ADB∽△A′D′B′.
不妨设∠ACD>∠C′B′D′,∠B′C′D′>∠CAD,
作∠ACE=∠C′B′D′(即∠3=∠4),作∠E′C′B′=∠EAC(即∠6=∠5),
即可得到△ACE∽△C′B′E′.
又因为∠EDC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠E′D′C′,∠CED=∠3+∠5=∠4+∠6=∠C′E′D′,
即可得到△CED∽△C′E′D′.
如图a,∠C=∠C′=90°,不妨设∠CAB>∠A′,∠C′B′A′>∠B.
作∠DAB=∠A′(即∠1=∠A′),作∠D′B′A′=∠B(即∠2=∠B),
则有△ADB∽△A′D′B′.
∵∠ADC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠B′D′C′,∠C=∠C′,
∴△ACD∽△B′C′D′;
结论推广
如图b,∠C=∠C′≠90°,不妨设∠CAB>∠A′,∠C′B′A′>∠B.
作∠DAB=∠A′(即∠1=∠A′),作∠D′B′A′=∠B(即∠2=∠B),
即可得到△ADB∽△A′D′B′.
∵∠ADC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠B′D′C′,∠C=∠C′,
∴△ACD∽△B′C′D′;
深入研究
如图c,不妨设∠CAB>∠A′,∠C′B′A′>∠B.
作∠DAB=∠A′(即∠1=∠A′),作∠D′B′A′=∠B(即∠2=∠B),
即可得到△ADB∽△A′D′B′.
不妨设∠ACD>∠C′B′D′,∠B′C′D′>∠CAD,
作∠ACE=∠C′B′D′(即∠3=∠4),作∠E′C′B′=∠EAC(即∠6=∠5),
即可得到△ACE∽△C′B′E′.
又因为∠EDC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠E′D′C′,∠CED=∠3+∠5=∠4+∠6=∠C′E′D′,
即可得到△CED∽△C′E′D′.
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