已知D,E分别是三角形ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2,连接AD和BE,它们相交于点P.过点P分别PQ//CA,PR//CB,它们分别与边AB交于点Q,R,则三角形PQR的面积与三角形ABC的面积之比为?

Question

已知D,E分别是三角形ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2,连接AD和BE,它们相交于点P.过点P分别
PQ//CA,PR//CB,它们分别与边AB交于点Q,R,则三角形PQR的面积与三角形ABC的面积之比为?

Answer 1

过点D作DM‖BE 交AC于M,作DN‖CA交AB于N,则
CM/ME=CD/BD
已知BD=4,DC=1,EC=2
所以CM/(2-CM)=1/4,得CM=0.4,ME=1.6
又DM‖BE 还可得
AP/PD=AE/EM=5/1.6=25/8
所以,AP/AD=25/(25+8)=25/33
又△ABD中,PR‖CB,得PR/BD=AP/AD,即PR/4=25/33,求得PR=100/33；
又因为DN‖CA‖PQ,则DN/AC=BD/BC,DN=7*4/5＝28/5,
PQ/DN=AP/AD=25/33,PQ=25/33*28/5=140/33.
再由PQ‖CA,PR‖CB,推出∠RPQ=∠C,
所以S△PQR=1/2*PR*PQ*sin∠RPQ=1/2*PR*PQ*sin∠C,
S△ABC=1/2*BC*AC*sin∠C,这样,
S△PQR：S△ABC=(PR*PQ)：(AC*BC)=(100/33*140/33)：(5*7)=400/1089