在三角形ABC中 三角形面积等于15倍根号3 a+b+c=30 ∠A+∠C等于∠B的一半 求三角形三边长a b c 等于多少?

Question

在三角形ABC中 三角形面积等于15倍根号3 a+b+c=30 ∠A+∠C等于∠B的一半 求三角形三边长a b c 等于多少?

Answer 1

∠A+∠B+∠C=180° ∠A+∠C=∠B/2可知∠B=120°
过A做AD⊥BC交BC的反向延长线与D
三角形ABD是∠ABD=60°的直角三角形
AB=c,AD=(c√3)/2,BD=c/2
a+b+c=30,1/2*AD*BC=1/2*(c√3)/2*a=15√3
再由余弦定理a^2+c^2-b^2=（cos120°）*2*a*c
根据1/2*AD*BC=1/2*(c√3)/2*a=15√3 可知a*c=60,
所以a^2+c^2+2*a*c-b^2=60
（a+b+c）*（a+c-b）=60
a+c-b=2
根据a+b+c=30 a+c-b=2 a*c=60
以上可以解出a=10,b=6,c=14或a=6,b=10,c=14