设abc都大于0,且abc互不相等.a+b>c求证a3+b3+c3+3abc>2(a+b)c2

Question

设abc都大于0,且abc互不相等.a+b>c求证a3+b3+c3+3abc>2(a+b)c2

Answer 1

证明：因为c>0,则可两边同时除以c^3,得：
（a/c）^3+(b/c)^3+3*(a/c)(b/c)+1>2(a/c+b/c);
令x= a/c,y= b/c；注意02(x+y);
所以只需要证明上式成立即可,证明如下：
(X^3+y^3)+3xy-(x+y)^2
=(x^3+y^3)-(x^2+y^2-xy)
=(x+y) (x^2+y^2-xy)- (x^2+y^2-xy)
=(x+y-1) (x^2+y^2-xy)
因为x^2+y^2-xy≥2xy-xy=xy>0,
而x+y>1,故：
(X^3+y^3)+3xy>(x+y)^2
∴x^3+y^3+3xy+1" >(x+y)^2+1;
又因为
(x+y)^2+1-2(x+y)= (x+y-1)^2>0
∴原命题成立,证毕.
希望能帮到你,这是最简单的思维方法了,你应该能看懂吧!不知道你是哪个年级的学生,所以没用导数解,