已知函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx,当x属于0,π/2时,求该函数的最大值和最小值最大值是根号2+1/2最小值是0

Question

已知函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx ,当x属于【0 ,π/2】时,求该函数的最大值和最小值
最大值是根号2+1/2
最小值是0

Answer 1

设sinx-cosx=t,则
t＝√2sin(x-π/4),
∵x∈(0,π/2),∴x-π/4∈(-π/4,π/4),
∴-√2/2＜sin(x-π/4)≤√2/2,
∴-1＜t≤1.
又两边平方,有1-2sinxcosx=t^2
∴sinxcosx=(1-t^2)/2
∴y=sinx-cosx+sinxcosx=t+(1-t^2)/2
＝(-1/2)(t^2-2t)+(1/2)
=(-1/2)(t-1)^2+1
∴当t＝1时,y(max)=1；
当t＝-1时,y(min)=-1；
综上,得：y∈[-1,1],
即有最大值是1.最小值-1