已知：如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB=OD，∠BAO=∠DCO。（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）把线段AC绕O点顺时针旋转，使AC⊥BD，这时四边形ABCD是什么四边形？

Question

已知：如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB=OD，∠BAO=∠DCO。

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）把线段AC绕O点顺时针旋转，使AC⊥BD，这时四边形ABCD是什么四边形？简要说明理由；
（3）在（2）中，当AC⊥BD后，又分别延长OA、OC到点A ₁ ，C ₁ ，使OA ₁ =OC ₁ =OD，这时四边形A ₁ BC ₁ D是什么四边形？简要说明理由。

Answer 1

（1）证明：∵AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD，
∴OA=OC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）四边形ABCD是菱形；
因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形（或对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；
（3）四边形是是正方形，
因为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（或对角线相等的菱形是正方形）。