正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为2，此时四面体ABCD外接球表面积为．

Question

正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为 √(2)，此时四面体ABCD外接球表面积为___．

Answer 1

根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为1，1，√(2)，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，
球心到底面的距离为1，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：(√(2))/(2)，
∴球的半径为r=√(((√(3))/(2))2+((√(2))/(2))2)=(√(5))/(2)．
外接球的表面积为：4πr²=5π．
故答案为：5π．