如果椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，12]C．[55，12]D．[15，12]

Question

如果椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．（0，1）
B．（0，(1)/(2)]
C．[(√(5))/(5)，(1)/(2)]
D．[(1)/(5)，(1)/(2)]

Answer 1

设P（x，y），∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x²+y²=4c²①
∵P在椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1上，∴(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1②
联立①②得x2＝(1−(4c2)/(b2))/((1)/(a2)−(1)/(b2))，∵0≤x²≤a²
∴0≤ (1−(4c2)/(b2))/((1)/(a2)−(1)/(b2))≤a2
∴0≤ (a2(5c2−a2))/(c2)≤a2
∴(1)/(5)≤e2≤(1)/(4)
∴e∈[(√(5))/(5)，(1)/(2)]
故选C