已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，，且的面积为，求椭圆的方程．

Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，，且的面积为，求椭圆的方程．____

Answer 1

【分析】根据点P是椭圆的左支上的一点，及双曲线的定义可知|PF₂|+|PF₁|=2a，由，∠F₁PF₂=，且ΔPF₁F₂的面积为3，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根据余弦定理可以求得a，c的一个方程，双曲线的离心率为2，根据双曲线的离心率的定义式，可以求得a，c的一个方程，解方程组即可求得该椭圆的方程．

设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，F₁(-c，0)、F₂(c，0)．
因为点P在椭圆上，所以|PF₁|+|PF₂|=2a．…(2分)
在ΔPF₁F₂中，由余弦定理，得
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos=(|PF₁|+|PF₂|)²-3|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²-3|PF₁|•|PF₂|．…(6分)
又因S_ΔPF1F2=3，所以|PF₁|•|PF₂|sin=3，得|PF₁|•|PF₂|=12．
所以4c²=4a²-36，又e==，
故a²=25，c²=16，b²=9，
∴所求椭圆的方程为+=1．…(12分)

【点评】此题是个中档题．考查椭圆的定义和待定系数法求椭圆的标准方程，及利用余弦定理解圆锥曲线的焦点三角形，解题过程注意整体代换的方法，简化计算．