根据下列条件分别求出双曲线的标准方程.(1)过点P(3-)离心率e=;(2)F1、F2是双曲线左、右焦点P是双曲线上一点且∠F1PF2=60°=12离心率为2.

Question

根据下列条件 分别求出双曲线的标准方程.

(1)过点P(3 - ) 离心率e= ;

(2)F ₁ 、F ₂ 是双曲线左、右焦点 P是双曲线上一点 且∠F ₁ PF ₂ =60° =12 离心率为2.

Answer 1

(1)若焦点在x轴上 设双曲线方程为 - =1

由e= 有 =

又由a ² +b ² =c ² 解①②得a ² =1 b ² = .

若焦点在y轴上 设双曲线方程为 - =1

同理有 = - =1 a ² +b ² =c ² .

解得b ² =- (舍去).

∴所求双曲线方程为x ² -4y ² =1.

(2)设双曲线方程为 - =1

因e= =2

∴2a=c 由||PF ₁ |-|PF ₂ ||=2a=c.

由余弦定理得(2c) ² =|PF ₁ | ² +|PF ₂ | ² -2|PF ₁ ||PF ₂ |cos∠F ₁ PF ₂ =(|PF ₁ |-|PF ₂ |) ² +2|PF ₁ ||PF ₂ |(1-cos60°)

∴4c ² =c ² +|PF ₁ |·|PF ₂ |.

又 = |PF ₁ ||PF ₂ |sin60°=12 .

∴|PF ₁ ||PF ₂ |=48.

∴3c ² =48 得a ² =4 b ² =12.

∴所求双曲线方程为 - =1.