设函数f（x）=lnx+x+a，若曲线y=e-12sinx+e+12上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0成立，则实数a的取值范围为（）A.[0，e2-e+1]B.[0，e2+e-1]C.[0，e2-e-1]D.[0，e2+e+1]

Question

设函数f（x）=

√(lnx+x+a)，若曲线y=(e-1)/(2)sinx+(e+1)/(2)上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀成立，则实数a的取值范围为（　　）

A. [0，e²-e+1]

B. [0，e²+e-1]

C. [0，e²-e-1]

D. [0，e²+e+1]

Answer 1

∵-1≤sinx≤1，
∴当sinx=1时，y=(e-1)/(2)sinx+(e+1)/(2)取得最大值y=(e-1)/(2)+(e+1)/(2)=e，
当sinx=-1时，y=(e-1)/(2)sinx+(e+1)/(2)取得最小值y=-(e-1)/(2)+(e+1)/(2)=-1，
即函数y=(e-1)/(2)sinx+(e+1)/(2)的取值范围为[-1，e]，
若y=(e-1)/(2)sinx+(e+1)/(2)上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀成立，
则y₀∈[-1，e]．且f（y₀）=y₀．
若下面证明f（y₀）=y₀．
假设f（y₀）=c>y₀，则f（f（y₀））=f（c）>f（y₀）=c>y₀，不满足f（f（y₀））=y₀．
同理假设f（y₀）=c<y₀，则不满足f（f（y₀））=y₀．
综上可得：f（y₀）=y₀．y₀∈[-1，e]．
∵函数f（x）=√(lnx+x+a)，的定义域为（0，+∞），
∴等价为√(lnx+x+a)=x，在（0，e]上有解
即平方得lnx+x+a=x²，
则a=x²-lnx-x，
设h（x）=x²-lnx-x，则h′（x）=2x-1-(1)/(x)=(2x2-x-1)/(x)=((2x+1)(x-1))/(x)，
由h′（x）>0得1<x≤e，此时函数单调递增，
由h′（x）<0得0<x<1，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极小值，即h（1）=1-ln1-1=0，
当x=e时，h（e）=e²-lne-e=e²-e-1，
则0≤h（x）≤e²-e-1．
则0≤a≤e²-e-1．
故选：C．