已知F是抛物线C：x2=2py，p>0的焦点，G、H是抛物线C上不同的两点，且|GF|+|BF|=3，线段GH的中点到x轴的距离为54，点P（0，4），Q（0，8），曲线D上的点M满足MP•MQ=0．（Ⅰ）求抛物线C和曲线D的

Question

已知F是抛物线C：x²=2py，p>0的焦点，G、H是抛物线C上不同的两点，且|GF|+|BF|=3，线段GH的中点到x轴的距离为(5)/(4)，点P（0，4），Q（0，8），曲线D上的点M满足

MP

•

MQ

=0．
（Ⅰ）求抛物线C和曲线D的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+m分别与抛物线C相交于点A，B（A在B的左侧）、与曲线D相交于点S，T（S在T的左侧），使得△OAT与△OBS的面积相等？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线定义知：(5)/(4)+(p)/(2)=(3)/(2)，得p=(1)/(2)
故抛物线的方程为x²=y；
设M（x，y），则∵

MP

•

MQ

=0，
∴（-x，4-y）•（-x，8-y）=0，
∴x²+（y-6）²=4，
∴曲线D的方程为x²+（y-6）²=4；
（2）∵△OAT与△OBS的面积相等，
∴AT=BS，
∴AS=TB
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S（x₃，y₃），T（x₄，y₄），
∴x₁-x₃=x₄-x₂，即x₁+x₂=x₄+x₃，
直线l：y=kx+m代入抛物线方程得：x²-kx-m=0
因为直线l与抛物线于A、B两点，所以△₁=k²+4km>0…①
x₁+x₂=k
直线l：y=kx+m代入圆方程得：（1+k²）x²+2（mk-6k）x+m²-12m+32=0
因为直线l与圆于C，D两点，所以△₂>0，即[2（mk-6k）]²-4（1+k²）（m²-12m+32）>0…②…（9分）
x₃+x₄=(12k-2mk)/(1+k2)
因为x₁+x₂=x₄+x₃，所以(12k-2mk)/(1+k2)=k，化简得k²=11-2m
代入①②得，解得-2<m<(11)/(2)．