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已知F是抛物线C:x2=2py,p>0的焦点,G、H是抛物线C上不同的两点,且|GF|+|BF|=3,线段GH的中点到x轴的距离为54,点P(0,4),Q(0,8),曲线D上的点M满足MP•MQ=0.(Ⅰ)求抛物线C和曲线D的
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已知F是抛物线C:x2=2py,p>0的焦点,G、H是抛物线C上不同的两点,且|GF|+|BF|=3,线段GH的中点到x轴的距离为
,点P(0,4),Q(0,8),曲线D上的点M满足
•
=0.
(Ⅰ)求抛物线C和曲线D的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l:y=kx+m分别与抛物线C相交于点A,B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S,T(S在T的左侧),使得△OAT与△OBS的面积相等?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
5 |
4 |
MP |
MQ |
(Ⅰ)求抛物线C和曲线D的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l:y=kx+m分别与抛物线C相交于点A,B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S,T(S在T的左侧),使得△OAT与△OBS的面积相等?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由抛物线定义知:
+
=
,得p=
故抛物线的方程为x2=y;
设M(x,y),则∵
•
=0,
∴(-x,4-y)•(-x,8-y)=0,
∴x2+(y-6)2=4,
∴曲线D的方程为x2+(y-6)2=4;
(2)∵△OAT与△OBS的面积相等,
∴AT=BS,
∴AS=TB
设A(x1,y1),B(x2,y2),S(x3,y3),T(x4,y4),
∴x1-x3=x4-x2,即x1+x2=x4+x3,
直线l:y=kx+m代入抛物线方程得:x2-kx-m=0
因为直线l与抛物线于A、B两点,所以△1=k2+4km>0…①
x1+x2=k
直线l:y=kx+m代入圆方程得:(1+k2)x2+2(mk-6k)x+m2-12m+32=0
因为直线l与圆于C,D两点,所以△2>0,即[2(mk-6k)]2-4(1+k2)(m2-12m+32)>0…②…(9分)
x3+x4=
因为x1+x2=x4+x3,所以
=k,化简得k2=11-2m
代入①②得,解得-2<m<
.
5 |
4 |
p |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
故抛物线的方程为x2=y;
设M(x,y),则∵
MP |
MQ |
∴(-x,4-y)•(-x,8-y)=0,
∴x2+(y-6)2=4,
∴曲线D的方程为x2+(y-6)2=4;
(2)∵△OAT与△OBS的面积相等,
∴AT=BS,
∴AS=TB
设A(x1,y1),B(x2,y2),S(x3,y3),T(x4,y4),
∴x1-x3=x4-x2,即x1+x2=x4+x3,
直线l:y=kx+m代入抛物线方程得:x2-kx-m=0
因为直线l与抛物线于A、B两点,所以△1=k2+4km>0…①
x1+x2=k
直线l:y=kx+m代入圆方程得:(1+k2)x2+2(mk-6k)x+m2-12m+32=0
因为直线l与圆于C,D两点,所以△2>0,即[2(mk-6k)]2-4(1+k2)(m2-12m+32)>0…②…(9分)
x3+x4=
12k-2mk |
1+k2 |
因为x1+x2=x4+x3,所以
12k-2mk |
1+k2 |
代入①②得,解得-2<m<
11 |
2 |
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