已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1，(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有？

Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1，
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有 ？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)设P(x，y)是曲线C上任意一点，
那么点P(x，y)满足 ，
化简得y ² =4x(x＞0)．
(Ⅱ)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
设l的方程为x=ty+m，
由 ，得 ，
，于是 ，①
又 ，
，②
又 ，
于是不等式②等价于
，③
由①式，不等式③等价于m ² -6m+1＜4t ² ， ④
对任意实数t，4t ² 的最小值为0，
所以不等式④对于一切t成立等价于m ² -6m+1＜0，即 ，
由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 ，
且m的取值范围是 。