已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）若以F为圆心的圆与直线4x+3y+1=0相切，过点F任作直线l交曲线C于A，B两点，

Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）若以F为圆心的圆与直线4x+3y+1=0相切，过点F任作直线l交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向圆F引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠PAF，β=∠QBF，求证：sinα+sinβ是定值．

Answer 1

（1）∵一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1，
∴点的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线，
∴点M的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0）；
（2）当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2+(4)/(k2)，x₁x₂=1，
∴sinα+sinβ=(1)/(|AF|)+(1)/(|BF|)=(x1+x2+2)/(x1x2+x1+x2+1)=1．
当l与x轴垂直时，也可得sinα+sinβ=1，
综上，有sinα+sinβ=1．