二次函数有些难若抛物线y=-x²+2ax+b的顶点在直线y=mx-2m+1上移动,且与抛物线y=x²有公共点,求m的取值范围.

Answer 1

∵y=-x²+2ax+b=-(x²-2ax+a²)+a²+b=-(x-a)²+(a²+b)
∴y=-x²+2ax+b的顶点在(a,a²+b)
∵y=-x²+2ax+b的顶点在直线y=mx-2m+1上移动
∴a²+b=ma-2m+1
∴m(a-2)=a²+b-1.(1)
又抛物线y=-x²+2ax+b与抛物线y=x²有公共点
∴方程组
y=-x²+2ax+b
y=x²
有实数根
即x²=-x²+2ax+b有实数根
-2x²+2ax+b=0有实数根
△=(2a)²-4*(-2)*b=4a²+8b≥0
即a²+2b≥0
b≥-a²/2
讨论(1)式
a=2时,b=-3,m∈R
a>2时,a-2>0
m=(a²+b-1)/(a-2)≥(a²-2)/[2(a-2)]
=(1/2)[a-2+2/(a-2)+4]≥√2+2,
当a=2+√2时取等号
a