已知函数f(x)=(12x-1+12)sinx(-π2＜x＜π2且x≠0)（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证f（x）＞0．

Question

已知函数f(x)=((1)/(2x-1)+(1)/(2))sinx  (-(π)/(2)＜x＜(π)/(2)且x≠0)
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证f（x）＞0．

Answer 1

（1）∵f(-x)=((1)/(2-x-1)+(1)/(2))sin(-x)=-((1)/((1)/(2x)-1)+(1)/(2))sinx
=-((2x)/(1-2x)+(1)/(2))sinx=((2x)/(2x-1)-(1)/(2))sinx=[(1+(1)/(2x-1))-(1)/(2)]sinx=((1)/(2x-1)+(1)/(2))sinx=f(x)，
∴f（x）是偶函数．
（2）当0＜x＜(π)/(2)时，2x＞1，  2x-1＞0  ，又sinx＞0   ，   ∴f(x)＞0．
当-(π)/(2)＜x＜0时，
∵f（x）为偶函数，由上式知f（x）＞0，故f（x）＞0成立．
综上可得，f（x）＞0．