如图，已知正方形ABCD的边长为2，在CD的延长线上取一点E，以CE为直径作圆交AD的延长线于点F，连接FB交圆于另一点G，且GB=DF．（1）证明：GF=CE．（2）试求五边形ABCFE的面积．

Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，在CD的延长线上取一点E，以CE为直径作圆交AD的延长线于点F，连接FB交圆于另一点G，且GB=DF．

（1）证明：GF=CE．
（2）试求五边形ABCFE的面积．

Answer 1

（1）证明：连接AG，GH，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，
∵CE为圆的直径，
∴BC是圆的切线，
∴BC²=BG•BF，
∴AB²=BG•BF，
∴(AB)/(BF)=(BG)/(AB)，
∵∠ABG=∠FBA，
∴△ABG∽△FBA，
∴∠AGB=∠BAF=90°，
∴AG²=AB²-BG²=AD²-DF²=（AD+DF）（AD-DF）=AF（AD-AF），
∵CE为圆的直径，∠ADC=90°，
∴DF=DH，
∴AG²=AF•AH，
∴(AG)/(AF)=(AH)/(AG)，
∵∠FAG=∠GAH，
∴△AGH∽△AFG，
∴∠AHG=∠AGF=90°，
∴FG是圆的直径，
∴FG=CE；

（2） 设BG=DF=DH=x，圆的半径为R，则BF=x+2R，AF=2+x，DE=2R-2，由勾股定理和相交弦定理得到，
BO²=CB²+CO²，CD•DE=DF•DH，
∴（x+R）²=R²+2²，2（2R-2）=x²，
∴x²+2xR=4，4R-4=x²，
∴4R-4+2xR=4，
∴4R+2xR=8，
∴2R+xR=4，
∴S_{五边形ABCFE}=S_{正方形ABCD}+S_△ADE+S_△ECF=2+2R+xR=2+4=6．