三次方程x^3-2x^2-4x+4=0的解用几何画板画了无整数解

Question

三次方程x^3-2x^2-4x+4=0的解 用几何画板画了无整数解

Answer 1

用卡丹公式
确定一般的三次方程的根的公式.
如果用现在的数学语言和符号,卡丹公式的结论可以借助于下面这样一种最基本的设想得出.
假如给我们一个一般的三次方程：
ax3+3bx2+3cx+d=0 （1）
如果令
x=y-b/a
我们就把方程（1）推导成
y3+3py+2q=0 （2）
其中 p=c/a-b2/a2,2q=2b3/a3-3bc/a2+d/a .
借助于等式
y=u-p/u
引入新变量u .把这个表达式带入（2）,得到：
（u3）2+2qu3-p3=0 （3）
由此得
u3=-q±√（q2+p3）,
于是
y=3√（-q±√（q2+p3））-p/3√（-q±√（q2+p3）） .
=3√（-q+√（q2+p3））+3√（-q-√（q2+p3）） .
（最后这个等式里的两个立方根的积等于-p .）