学过初等数论的进.(闲杂人等勿进)证明:X^4+Y^2=Z^4无XYZ不等于0的解.(最好用无穷递降法)意思没讲清楚,是:证明:X^4+Y^2=Z^4无本原解.这里X,Y,Z都是整数且都不为0,并且X,Y,Z两两互素.

Question

学过初等数论的进.(闲杂人等勿进)
证明:X^4+Y^2=Z^4无XYZ不等于0的解.(最好用无穷递降法)
意思没讲清楚,是:
证明:X^4+Y^2=Z^4无本原解.这里X,Y,Z都是整数且都不为0,并且X,Y,Z两两互素.

Answer 1

这里证明用到勾股数的原理：
X,Y,Z为一组勾股数则存在(M,N)=1
X=M^2-N^2
Y=2MN
Z=M^2+N^2
原题证明：显然如果原式存在本原解X,Y,Z必为一偶二奇
运用无限递降法,如果存在本原解,令(X,Y,Z)是满足
X^4+Y^2=Z^4……(1)
的所有解中Z最小的一组,然后分情况讨论：
[1]对于Z是偶数的情况比较简单,引用“一个小么”的证明：
因为X,Y,Z互素,表明X,Y,Z只可能是两奇一偶,当X,Y为奇数,Z为偶数时.（因为X^4+Y^2= Z^4）,X为奇数,所以X可表示成2k+1形式,则X^4可表示成4m+1的形式,而同样的,Y可表示成2t+1形式,Y^2只能表示为4n+1形式,故X^4+Y^2只能表示为4p+2.（这里的k,m,n,t,p都是整数）,显然的Z为偶数,Z^4被4整除,与Z^4=4P+2矛盾.故不存在这样的 X,Y,Z.
[2]对于Y是偶数的情况：
根据勾股数原理(X^2)^2+Y^2=(z^2)^2
存在（M,N）=1
X^2=M^2-N^2……(2)
Y=2MN…………(3)
Z^2=M^2+N^2……(4)
其中(2)*(4)式得
N^4+(XZ)^2=M^4
(N,XZ,M)满足(1)但是M