复数 旋转与伸缩一个复数a+bi,与x轴夹角A,乘c+di（与x轴夹角B),所得新复数e+fi相当于把c+di按逆时针旋转A,大小等于两原复数模之和,如何证明?

Question

复数 旋转与伸缩
一个复数a+bi,与x轴夹角A,乘c+di（与x轴夹角B),所得新复数e+fi相当于把c+di按逆时针旋转A,大小等于两原复数模之和,如何证明?

Answer 1

a+bi=r(cosA+isinA)
c+di=q(cosB+isinB)
相乘=rq[(cosA+isinA)(cosB+isinB)]
(cosA+isinA)(cosB+isinB)
=cosAcosB-sinAsinB+i(sinAcosB+cosAsinB)
=cos(A+B)+isin(A+B)
所以(a+bI)(c+di)
=qr[cos(A+B)+isin(A+B)]
所以幅角相当于把c+di按逆时针旋转A
大小等于两原复数模之积,不是和