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如图:平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于E,∠BCD的平分线交AD于F,且AB=3,DE=2,(1)求平行四边形ABCD的周长.(2)求证:BE⊥CF(3)若CF=2,求BE的长.
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如图:平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于E,∠BCD的平分线交AD于F,且AB=3,DE=2,
(1)求平行四边形ABCD的周长.
(2)求证:BE⊥CF
(3)若CF=2,求BE的长.
(1)求平行四边形ABCD的周长.
(2)求证:BE⊥CF
(3)若CF=2,求BE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AE=AB=3,
∴AD=AE+DE=3+2=5,
∴平行四边形ABCD的周长为:2(AB+AD)=2×(3+5)=16;
(2)证明:设BE与CF交于点M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,
∴∠CBE=
∠ABC,∠BCF=
∠BCD,
∴∠CBE+∠BCF=90°,
∴∠BMC=90°,
即BE⊥CF;
(3)过点E作EN∥CF,交BC的延长线于点N,
∵AD∥BC,
∴四边形EFCN是平行四边形,
∴CN=EF,EN=CF=2,
∵AB=AE=3,
同理:CD=DF=AB=3,
∴EF=AE+DF-AD=3+3-5=1,
∴CN=1,
∴BN=BC+CN=5+1=6,
在Rt△BEN中,BE=
=4
.
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AE=AB=3,
∴AD=AE+DE=3+2=5,
∴平行四边形ABCD的周长为:2(AB+AD)=2×(3+5)=16;
(2)证明:设BE与CF交于点M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,
∴∠CBE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠CBE+∠BCF=90°,
∴∠BMC=90°,
即BE⊥CF;
(3)过点E作EN∥CF,交BC的延长线于点N,
∵AD∥BC,
∴四边形EFCN是平行四边形,
∴CN=EF,EN=CF=2,
∵AB=AE=3,
同理:CD=DF=AB=3,
∴EF=AE+DF-AD=3+3-5=1,
∴CN=1,
∴BN=BC+CN=5+1=6,
在Rt△BEN中,BE=
BN2−EN2 |
2 |
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