求y=tan(x+y)的2阶导数.求e的根号x次方的积分.求函数y=x+根号1-x的极值.求微分方程y''-4y'+5y=0的通解.由曲线xy=1直线y=x和y=2围成图形面积

Question

求y=tan(x+y)的2阶导数.求e的根号x次方的积分.求函数y=x+根号1-x的极值.求微分方程y''-4y'+5y=0的通解.
由曲线xy=1 直线y=x和y=2围成图形面积

Answer 1

(1)求y=tan(x+y)的2阶导数
令F(x,y)=y-tan(x+y)=0,于是
dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=[sec²(x+y)]/[1-sec²(x+y)]=-csc²(x+y)
d²y/dx²=dy′/dx=2csc²(x+y)[cot(x+y)](1+y′)=2csc²(x+y)[cot(x+y)](1-csc²(x+y)]
=-2csc²(x+y)cot³(x+y)
(2)求不定积分∫[e^(√x)]dx
令√x=u,则x=u²,dx=2udu,于是
原式=2∫u(e^u)du=2∫ud(e^u)=2[ue^u-∫(e^u)du]=2(ue^u-e^u)+C=2(u-1)e^u+C=2[(√x)-1]e^(√x)+C
(3)求函数y=x+√(1-x)的极值
定义域：由1-x≧0,得x≦1.
令y′=1-1/[2√(1-x)]=0,即有2√(1-x)=1,1-x=1/4,故得驻点x=3/4；
当x0；当x>3/4时y′