任意一个四边形,它的两条对角线分别长a,b,夹角为60度,求面积.（问题提示是用勾股定理）

Question

任意一个四边形,它的两条对角线分别长a,b,夹角为60度,求面积.（问题提示是用勾股定理）

Answer 1

设任意四边形ABCD,对角线AC=a,BD=b,AC和BD交于O
过顶点A作AE⊥BD,垂足为E,过顶点C作CF⊥BD,垂足为F,
△AEO和△CFO均为直角三角形,
∠EAO=90°-60°=30°,∠FCO=90°-60°=30°
∴ EO=AO/2,FO=CO/2
AE²=AO²-EO²=3AO²/4,AE=√3AO/2
CF²=CO²-FO²=3CO²/4,CF=√3CO/2
S四边形=S△ABD+S△CBD
=1/2*BD*AE+1/2*BD*CF
=1/2*b(AE+CF)
=1/2*b(√3AO/2+√3CO/2)
=1/2*b*√3/2(AO+CO)
=√3/4*b*a