一道立体几何的问题已知正方体ABCD－A1B1C1D1,E为面对角线AC上一点,F为面对角线A1B上一点,且AE＝A1F.若E、F、分别是AC、A1B的中点.求证EF平行与面BCC1B求二面角A－FB－E的余弦值(根号下30/6）

Question

一道立体几何的问题
已知正方体ABCD－A1B1C1D1,E为面对角线AC上一点,F为面对角线A1B上一点,且AE＝A1F.若E、F、分别是AC、A1B的中点.
求证EF平行与面BCC1B
求二面角A－FB－E的余弦值(根号下30/6）

Answer 1

1.取AB的中点为M,连接FM和EM,由中位线定理知FM平行于B1B,EM平行于BC,则面EMF平行于面BCC1B1,故EF与面BCC1B1平行
2.取FB的中点为Q,连接QM,EQ,因三角形EFB为等边三角形,故EQ垂直于FB,又MQ平行且等于0.5倍AF,则MQ垂直于FB.EM垂直于面ABB1A1(正方体)
二面角A－FB－E就为角EQM
角EQM余弦值=QM/EQ=(根号3)/3
备注:设正方体变长为1,有EM=1／2,AF=EB=FB=EF=(根号2)/2,QM=(根号2)/4,EQ=(根号6)/4