设A是n阶复方阵，零是A的k重特征值，求证：秩（Ak）=n-k．

Question

设A是n阶复方阵，零是A的k重特征值，求证：秩（A^k）=n-k．

Answer 1

证明：设A的非零特征值为λ_i（i=1，2，…，s），重数分别为n_i（i=1，2，…，s），且满足n₁+n₂+…+n_s=n-k
则由A的若当标准型存在可逆的矩阵T，使得
J=T^-1AT=

J0
	J1
		⋱
			Js

，其中J₀是对角元为0的k阶若当标准型，J_i是对角元为n_i阶若当标准型
因此
J^k=T^-1A^kT=

J0k
	J1k
		⋱
			Jsk

=

0
	J1k
		⋱
			Jsk

而J_i为可逆的若当标准型，因此r（J^k）=n-k
而T是可逆的
从而r（A^k）=r（J^k）=n-k．