设A=（aij）n×n，n＞1，已知矩阵A的秩为1，且a11+a22+…+ann=1，（1）求矩阵A的特征值；（2）证明矩阵A可以相似于对角矩阵；（3）求A10-A．

Question

设A=（a_ij）_n×n，n＞1，已知矩阵A的秩为1，且a₁₁+a₂₂+…+a_nn=1，
（1）求矩阵A的特征值；
（2）证明矩阵A可以相似于对角矩阵；
（3）求A¹⁰-A．

Answer 1

（1）设A的特征值为λ₁、λ₂、…、λ_n，由于r（A）=1，必有
λ₁=t≠0，λ₂=λ₃=…=λ_n=0
又由于λ₁+λ₂+…+λ_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=1
∴λ₁=1，λ₂=λ₃=…=λ_n=0
（2）由（1）知，A的特征值只有1（1重）和0（n-1重）
而r（A）=1，因此-Ax=0的基础解系含有n-r（-A）=n-r（A）=n-1个解向量
即特征值0的特征向量有n-1重
又不同特征值的特征向量是线性无关的
∴A有n个线性无关的特征向量
∴A可以相似于对角矩阵∧＝

1	0	…	0
0	0	…	0
⋮	⋮	⋮	⋮
0	0	…	0

（3）由（2）知，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=∧
∴A¹⁰=P∧¹⁰P^-1
∴A¹⁰-A=P（∧¹⁰-∧）P^-1=POP^-1=O