已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax+b的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2.设g(x)=f(x)+m/（x-1）是[2,+∝)上的增函数,求实数m的最大值；怎么做呢,答案好像是2或3吧.

Question

已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax+b的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2.设g(x)=f(x)+m/（x-1）是[2,+∝)上的增函数,求实数m的最大值；怎么做呢,答案好像是2或3吧.

Answer 1

f'(x)=x^2-2x+a
∵图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2
∴f'(0)=a=3,且f(0)=b=-2
∴f(x)=1/3x^3-x^2+3x-2
g(x)=1/3x^3-x^2+3x-2+m/(x-1)
g'(x)=x^2-2x+3-m/(x-1)²
∴g(x)=f(x)+m/（x-1）是[2,+∝)上的增函数,
∴x≥2时,g'(x)≥0恒成立
∴x^2-2x+3-m/(x-1)²≥0
m/(x-1)²≤x^2-2x+3=（x-1)²+2
m≤(x-1)⁴+2(x-1)²=[(x-1)²+1]²-1恒成立
∵x≥2∴x-1≥1∴(x-1)²≥1
∴(x-1)²=1时,[(x-1)²+1]²-1取得最小值3
∴m≤3,m的最大值是 3