如果a有order3(modP),证明a+1有order6(modP)

Question

如果a有order 3 (mod P),证明 a+1 有 order 6 (mod P)

Answer 1

ord(a)=3(modp),所以a^3=1(modp) 或者说(a-1)(a^2+a+1)=0(modp)a-1≠0(modp)否则,ord(a)=1(modp),从而a^2+a+1=0(modp).于是(a+1)^6=a^6+6a^5+15a^4+20a^3+15a^2+6a+1=21(a^2+a+1)+1=1(modp)只要说明ord(a+1)≠1,2,3(...