.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.

Question

.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为 a.
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积.

Answer 1

（1）V _球 = R ³ = a ³ （2）V _棱锥 = S _底 h= a ² × a=

（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为△SAC的外心，

即△SAC的外接圆半径就是球的半径.
∵AB=BC=a，∴AC= a.
∵SA=SC=AC= a，∴△SAC为正三角形.
由正弦定理得2R= ，
因此，R= a，V _球 = R ³ = a ³ .
（2）设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E，
作SF⊥BC于F，连接EF，
则有SF=
= .
S _△SBC = BC·SF= a× a= a ² .
S _棱锥全 =4S _△SBC +S _底 =（ +1）a ² .
又SE= = = ，
∴V _棱锥 = S _底 h= a ² × a= .
∴r= ,
S _球 =4 r ² = a ² .