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.如图所示,已知正四棱锥S—ABCD中,底面边长为a,侧棱长为a.(1)求它的外接球的体积;(2)求它的内切球的表面积.

题目详情
.如图所示,已知正四棱锥S—ABCD中,底面边长为a,侧棱长为 a.
(1)求它的外接球的体积;
(2)求它的内切球的表面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)V = R 3 = a 3 (2)V 棱锥 = S h= a 2 × a=

(1)设外接球的半径为R,球心为O,则OA=OC=OS,所以O为△SAC的外心,

即△SAC的外接圆半径就是球的半径.
∵AB=BC=a,∴AC= a.
∵SA=SC=AC= a,∴△SAC为正三角形.
由正弦定理得2R=
因此,R= a,V = R 3 = a 3 .
(2)设内切球半径为r,作SE⊥底面ABCD于E,
作SF⊥BC于F,连接EF,
则有SF=
= .
S △SBC = BC·SF= a= a 2 .
S 棱锥全 =4S △SBC +S =( +1)a 2 .
又SE= = =
∴V 棱锥 = S h= a 2 × a= .
∴r= ,
S =4 r 2 = a 2 .
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