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(2000•海淀区)已知:如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,A是弧BD的中点,过A点的切线与CB的延长线交于点E.(1)求证:AB•DA=CD•BE;(2)若点E在CB延长线上运动,点A在弧BD上运动,使
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(2000•海淀区)已知:如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,A是弧BD的中点,过A点的切线与CB的延长线交于点E.
(1)求证:AB•DA=CD•BE;
(2)若点E在CB延长线上运动,点A在弧BD上运动,使切线EA变为割线EFA,其它条件不变,问具备什么条件使原结论成立?(要求画出示意图,注明条件,不要求证明)
(1)求证:AB•DA=CD•BE;
(2)若点E在CB延长线上运动,点A在弧BD上运动,使切线EA变为割线EFA,其它条件不变,问具备什么条件使原结论成立?(要求画出示意图,注明条件,不要求证明)
▼优质解答
答案和解析
(1)点A是弧BD的中点,根据弦切角定理和圆周角定理知∠1=∠3,由圆内接四边形的性质知∠ABE=∠D,于是有△ABE∽△CDA⇒⇒AB•DA=CD•BE;
(2)要使结论仍然成立,则应有△ABE∽△CDA,故可使=.当=时有∠EAB=∠ACD,而由圆内接四边形的性质知∠ABE=∠ADC,故有△ABE∽△CDA,得⇒AB•DA=CD•BE
(1)证明:连接AC
∵A是的中点,
∴.
∵EA切⊙O于点A,点C在⊙O上,
∴∠1=∠3=∠2
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ABE=∠D
∴△ABE∽△CDA
∴
∴AB•DA=CD•BE.
(2)【解析】
如图,具备条件=(BF=DA,或∠BCF=∠DCA,或∠BAF=∠DCA,或FA∥BD等),使原结论成立
(2)要使结论仍然成立,则应有△ABE∽△CDA,故可使=.当=时有∠EAB=∠ACD,而由圆内接四边形的性质知∠ABE=∠ADC,故有△ABE∽△CDA,得⇒AB•DA=CD•BE
(1)证明:连接AC
∵A是的中点,
∴.
∵EA切⊙O于点A,点C在⊙O上,
∴∠1=∠3=∠2
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ABE=∠D
∴△ABE∽△CDA
∴
∴AB•DA=CD•BE.
(2)【解析】
如图,具备条件=(BF=DA,或∠BCF=∠DCA,或∠BAF=∠DCA,或FA∥BD等),使原结论成立
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