设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x2=y，z−y＝2，试求积abc的所有可能的值．

Question

设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x²=y，√(z)−√(y)＝2，试求积abc的所有可能的值．

Answer 1

因为a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，联立解得
（a，b，c）=（(1)/(2)(x+y)，(1)/(2)(x+z)，(1)/(2)(y+z)）（5分）
又y=x²，于是有：a＝(1)/(2)(x+x2)，（1）
b=(1)/(2)（x+z），（2）
c＝(1)/(2)(x2+z)，（3）
由（1）解得x=(−1±√(1+8a))/(2)（4）
因x是整数，得1+8a=T²，其中T是正奇数，（10分）
于是，2a＝(T−1)/(2)•(T+1)/(2)又a是质数，故只能有(T+1)/(2)＝a(T−1)/(2)＝2
所以T=5，a=3．（15分）
代a=3入（4）得x=2，-3
当x=2时，y=x²=4，因而有√(z)−2＝2，z＝16，
代入（2）、（3）得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，应舍去．（20分）
当x=-3时，y=9，√(z)−3＝2，
所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17，
故abc=3×11×17=561．（25分）