如图，给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，点C是以O为圆心的圆弧AB上的一个动点，且OC=xOA+yOB（x，y∈.R−）（Ⅰ）设∠AOC=θ，写出x，y关于θ的函数解析式并求定义域；（

Question

 如图，给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为(2π)/(3)，点C是以O为圆心的圆弧

AB

上的一个动点，且

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈

.

R−

）
（Ⅰ）设∠AOC=θ，写出x，y关于θ的函数解析式并求定义域；
（Ⅱ）求x+y的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）过点C作OA、OB的平行线，分别交OA、OB或它们的延长线于点D、E，
则四边形ODCE是平行四边形，可得

OC

=

OD

+

OE

，
∵由题意知

OC

=x

OA

+y

OB

，∴x

OA

=

OD

，y

OB

=

OE

．
又∵|

OA

|=|

OB

|=1，∴|

OD

|=x，|

OE

|=|

CD

|=y．
在△ODC中，∠D=π-∠AOB=(π)/(3)，
根据正弦定理可得：(OC)/(sin∠D)＝(CD)/(sin∠COD)＝(OD)/(sin∠OCD)，
即(1)/(sin(π)/(3))＝(y)/(sinθ)＝(x)/(sin((2π)/(3)−θ))
∴x=(2√(3))/(3)sin（(2π)/(3)−θ），y=(2√(3))/(3)sinθ，它们的定义域为[0，(2π)/(3)]；
（Ⅱ）由（I）可得x+y=(2√(3))/(3)sin（(2π)/(3)−θ）+(2√(3))/(3)sinθ．
=(2√(3))/(3)[sin（(2π)/(3)−θ）+sinθ]=(2√(3))/(3)（sin(2π)/(3)cosθ-cos(2π)/(3)sinθ+sinθ）
=2（sinθcos(π)/(6)+cosθsin(π)/(6)）=2sin（θ+(π)/(6)）
∵θ+(π)/(6)∈[(π)/(6)，(5π)/(6)]，可得sin（θ+(π)/(6)）∈[(1)/(2)，1]．
∴x+y的取值范围是[1，2]．