一光滑绝缘细直长杆处于静电场中，沿细杆建立坐标轴x，以x=0处的O点为电势零点，如图（a）所示．细杆各处电场方向沿x轴正方向，其电场强度E随x的分布如图（b）所示．细杆上套有可视为

Question

一光滑绝缘细直长杆处于静电场中，沿细杆建立坐标轴x，以x=0处的O点为电势零点，如图（a）所示．细杆各处电场方向沿x轴正方向，其电场强度E随x的分布如图（b）所示．细杆上套有可视为质点的带电环，质量为m=0.2kg，电荷量为q=-2.0×10^-6C．带电环受沿x轴正向的恒力F=1.0N的作用，从O点静止开始运动，求：
（1）带电环在x=1m处的加速度；
（2）带电环运动区间内的电势最低值；
（3）带电环动能为0.5J时的位置；
（4）带电环电势能是动能3倍时的电势能．

Answer 1

（1）由图可知：E=（x+2）×10⁵N/C，可知
带电环受到的电场力：F_E=Eq=（x+2）×10^-5×2×10^-6=0.2x+0.4 N
带电环受到的合外力：F_合=F-Eq=1-（0.2x+0.4）N=0.6-0.2x
当x=1m时，F_合=0.6-0.2x=（0.6-0.2）N=0.4N
由F=ma得：a=(F)/(m)=(0.4)/(0.2)m/s2=2m/s2
（2）因为沿电场线方向电势降低，所以当带电环沿x轴正方向运动到了最远处电势最低点．
由动能定理得：W合=q

.

E

x=(0.6+(0.6-0.2x))/(2)x=0
解得x=6m
由E-x图象可知：U₀-U_min=0-[（2+8）×10⁵×6]/2=-3×10⁶V
（3）当W_合=0.5J时，带电环动能为0.5J，由W合=q

.

E

x=(0.6+(0.6-0.2x))/(2)x=0.5J
解得x=1m或x=5mW
（4）带电环电势能是动能3倍的位置，即W_合：W_Eq=1：3
即(0.6+(0.6-0.2x))/(2)x：(0.4+(0.2x+0.4))/(2)x=1：3
解得x=3.5m
x=3.5m处的电势能为E_P=U_xqEp=-(2+(3.5+2)×105)/(2)×3.5×(-2×10-6)J=2.625J
答：（1）带电环在x=1m处的加速度2m/s2；
（2）带电环运动区间内的电势最低值为-3×10⁶V；
（3）带电环动能为0.5J时的位置为3.5m；
（4）当带电环电势能是动能3倍时的电势能为2.625J．