已知：△ABC是等边三角形，分别过点A，B作AF∥BC，BE∥AC，AF，BE分别与过点C的直线交于点F，E，连接线段BF，AE，BF交AE于点D（1）求证：△AFC∽△BCE；（2）△ABC的边长是3，AF=2，求BE的长；（3

Question

已知：△ABC是等边三角形，分别过点A，B作AF∥BC，BE∥AC，AF，BE分别与过点C的直线交于点F，E，连接线段BF，AE，BF交AE于点D
（1）求证：△AFC∽△BCE；
（2）△ABC的边长是3，AF=2，求BE的长；
（3）请你找出与△ABF相似的三角形，并证明．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠BCE，∠CAF=∠ACB，
∵BE∥AC，
∴∠EBC=∠ACB，
∴∠CAF=∠EBC．
在△AFC与△BCE中，∵∠AFC=∠BCE，∠CAF=∠EBC，
∴△AFC∽△BCE；

（2）∵△AFC∽△BCE，
∴AF：BC=AC：BE，
∵等边△ABC的边长是3，
∴BC=AC=3，
又AF=2，
∴2：3=3：BE，
∴BE=(9)/(2)；

（3）△BEA∽△ABF，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠ABC+∠ACB=120°，
∠FAB=∠CAF+∠BAC=∠ACB+∠BAC=120°，
∴∠ABE=∠FAB．
∵△BCE∽△AFC，
∴(BE)/(AC)=(BC)/(AF)，
∵AC=AB=BC，
∴(BE)/(AB)=(AB)/(AF)．
在△BEA与△ABF中，∵(BE)/(AB)=(AB)/(AF)，∠ABE=∠FAB，
∴△BEA∽△ABF．