已知函数f（x）=x+aeπ（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x<0，a≤1时，证明：x2+（a+1）x>f'（x）．

Question

已知函数f（x）=x+ae^π（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x<0，a≤1时，证明：x²+（a+1）x>f'（x）．

Answer 1

（1）由f（x）=x+ae^x可得f'（x）=1+ae^x．
当a≥0时，f'（x）>0，则函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
当a<0时，f'（x）>0可得x<ln(-(1)/(a))，由f'（x）<0可得x>ln(-(1)/(a))；
则函数f（x）在(-∞，ln(-(1)/(a)))上为增函数，在(ln(-(1)/(a))，+∞)上为减函数…（4分）
（2）证明：令F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x），
则F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x）=x²+ax-axe^x=x（x+a-ae^x），
令H（x）=x+a-ae^x，则H'（x）=1-ae^x，
∵x<0，∴0<e^x<1，又a≤1，∴1-ae^x≥1-e^x>0，
∴H（x）在（-∞，0）上为增函数，则H（x）<H（0）=0，即x+a-ae^x<0，
由x<0可得F（x）=x（x+a-ae^x）>0，所以x²+（a+1）x>xf'（x）…（12分）