已知函数f（x）=x2+ax．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）当a=16时，判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性并用定义证明；（3）试判断方程x3-2016x+16=0在区间（0，+∞）上解的个数并证明

Question

已知函数f（x）=x²+(a)/(x)．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）当a=16时，判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性并用定义证明；
（3）试判断方程x³-2016x+16=0在区间（0，+∞）上解的个数并证明你的结论．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
①a=0时，f（-x）=x²=f（x），∴f（x）是偶函数．
②a≠0时，f（-x）≠±f（x），∴f（x）是非奇非偶函数．
（2）当a=16时，f（x）=x²+(16)/(x)，任取0<x₁<x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=(

x

2 1

+(16)/(x1))-(

x

2 2

+(16)/(x2))=（x₁-x₂）•((x1+x2)x1x2-16)/(x1x2)，
∵0<x₁<x₂≤2，∴x₁-x₂<0，0<x₁x₂<4，0<x₁+x₂<4．
∴（x₁-x₂）•((x1+x2)x1x2-16)/(x1x2)>0，即f（x₁）-f（x₂）>0，∴f（x₁）>f（x₂）．
∴f（x）在x∈（0，2]上是单调递减函数．
（3）结论：方程在（0，+∞）上共有两个解．
证明：当a=16时，任取2≤x₁<x₂，则同理可证f（x₁）<f（x₂）．
∴f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．
∴x³-2016x+16=0在的解即为方程x²+(16)/(x)-2016=0，x∈（0，+∞）的解．
令g（x）=f（x）-2016，
∴当x∈（0，2）时，由f((1)/(1000))=16000+(1)/(1000000)>2016得g((1)/(1000))>0．
且f（2）=12<2016得g（2）<0，
又g（x）的图象在x∈（0，2]的解上是不间断的曲线，由零点存在定理知函数在x∈[0，2]上有一个零点，又由g（x）在x∈（0，2]上是单调递减函数，所以函数在[0，2]上只有一个零点．
当x∈（2，+∞）时，由f（2）=12<2016，且f（1000）>0且f（x）在x∈[2，+∞）上是单调递增函数得g（2）<0，
g（1000）>0，g（x）的图象在（2，+∞）上是不间断的曲线，
由零点存在定理知函数在x∈[2，+∞）有一个零点，又由g（x）在x∈（2，+∞）调递增知函数在x∈（2，+∞）只有一个零点．