设函数f（x）=x2+ax-lnx（a∈R），（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m+ln2＞|f（x

Question

设函数f（x）= x ² +ax-lnx（a∈R），
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x ₁ ，x ₂ ∈[1，2]，恒有 m+ln2＞| f（x ₁ ）-f（x ₂ ）|成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

设函数f（x）= x ² +ax-lnx（a∈R），
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x ₁ ，x ₂ ∈[1，2]，恒有 m+ln2＞| f（x ₁ ）-f（x ₂ ）|成立，求实数m的取值范围。

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），   
当a=1时， ，
令f′（x）=0，得x=1，  
当 时， ；当x＞1时， ；  
∴ ，无极大值。
（Ⅱ）        
= ，
当 ，即a=2时， ，
f（x）在（0，+∞）上是减函数；      
当 ，即 时，令 得 或x＞1；    
令 得 ；     
当 ，即 时，令 得 或 ；      
令 得 ；
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数； 
当 时，f（x）在 和（1，+∞）单调递减，在 上单调递增；
当 时，f（x）在（0，1）和 单调递减，在 上单调递；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减，
当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值，
∴ ，
∴ ，而a＞0，
经整理得 ，
由3＜a＜4得 ，
所以 。