设△ABC的内角A，B，C满足sinA，sinB，sinC成等比数列，则sinAcotC+cosAsinBcotC+cosB的取值范围是(5−12，5+12)(5−12，5+12)．

Question

设△ABC的内角A，B，C满足sinA，sinB，sinC成等比数列，则(sinAcotC+cosA)/(sinBcotC+cosB)的取值范围是

((√(5)−1)/(2)，(√(5)+1)/(2))

((√(5)−1)/(2)，(√(5)+1)/(2))

．

Answer 1

由sinA，sinB，sinC成等比数列，
根据正弦定理得：a，b，c也成等比数列，
设三边的公比是q，三边为a，aq，aq²，
原式=((sinAcosC)/(sinC)+cosA)/((sinBcosC)/(sinC)+cosB)
=(sinAcosC+cosAsinC)/(sinBcosC+cosBsinC)
=(sin(A+C))/(sin(B+C))
=(sinB)/(sinA)=q
由三角形的两边之和大于第三边可得：
aq+aq²＞a，①a+aq＞aq²，②a+aq²＞aq，③
解三个不等式可得q ＞(√(5)−1)/(2)，0 ＜q＜(√(5)+1)/(2)，
综上，所求式子的范围为((√(5)−1)/(2)，(√(5)+1)/(2))．
故答案为：((√(5)−1)/(2)，

作业帮用户 2016-11-17 举报

问题解析

由sinA，sinB，sinC成等比数列，根据正弦定理得到三角形三边成等比数列，把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角和之间的关系，最后角化边，得到要求的范围既是公比的范围，用公比表示出三条边，根据两边之和大于第三边，得到不等式组，得到结果．

名师点评

本题考点：

同角三角函数间的基本关系；等比数列的性质．

考点点评：

此题考查了正弦定理，等比数列的性质，三角函数的恒等变化，三角形内角之间的关系，一元二次不等式的解法，等比数列的应用，以及变量的范围的求解，利用转化的思想，是一道综合性较强的题．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议